わかりやすくフーリエ変換、短時間フーリエ変換、ウェーブレット変換を解説！
Abstract
フーリエ変換は、大学のすべての人にとって悪夢になるはずです。 この記事では、フーリエ-短時間フーリエ変換-ウェーブレット変換の順序に従い、ウェーブレット変換の理由とアイデアを浅いものから深いものに説明します。 初心者がフーリエ変換とウェーブレット変換を深く理解するのに役立ちます。
- フーリエ変換
光はさまざまな周波数の波で構成されており、プリズムを通して白色光を7色に変えることができます。
あなたの理解では、音楽とは何ですか？
これは私たちの音楽に対する最も一般的な理解であり、時間とともに変化する振動です。 しかし、ミュージシャンにとって、音楽のより直感的な理解はこれだと私は信じています：
三角柱は白色光のビームを7つの異なる周波数の光に変えます。ミュージシャンが時間とともに振動する音楽をスペクトルに変えるプロセスはすべてフーリエ変換です。
MRIでは、2次元画像の場合、周波数と位相の2つの勾配フィールドを使用して、データ収集中に画像を空間的にエンコードします。受信コイルによって収集される情報は、時間とともに変化する信号です。これらの信号は、すべてのボクセルの信号。、フーリエ変換は、これらの混合された時間変化する時間領域信号を周波数領域信号に変換することです。 これらの周波数領域信号はk空間と呼ばれる場所に保存され、画像は逆フーリエ変換によって再構成されます。
私たちが生まれた時から、私たちが目にする世界は時を経て流れていきます。人の身長、車の軌道、四季の交代はすべて時間とともに変化します。 時間を基準として動的な世界を観察するこの方法は、時間領域分析と呼ばれます。 また、世界のすべてが時間とともに絶えず変化しており、決して静止することはないことも当然のことと考えています。 しかし、別の方法で世界を観察すると、世界は永遠であり、この静的な世界は周波数領域と呼ばれます。
時間とともに変化するすべての関数は、正弦関数と余弦関数によって重ね合わされます。
このアニメーションでは、方形波を構成する正弦波の成分が分解され、フーリエ級数分解と呼ばれます。
次に、正弦波を確認しましょう。
正弦波は、直線上の円運動の投影です。 したがって、周波数領域の基本単位は、常に回転している円として理解することもできます。
以下では、主にフーリエ変換の欠陥について説明します。 つまり、フーリエ変換で信号の周波数スペクトルを分析できることがわかっているのに、なぜウェーブレット変換を提案する必要があるのでしょうか。
非定常プロセスの場合、フーリエ変換には制限がありますので。
次の単純な信号について考えてみます。
FFT（高速フーリエ変換）を実行すると、周波数スペクトルに4つの明確な線が表示され、信号には4つの周波数成分が含まれます。
すべて問題ありません。 しかし、周波数が時間とともに変化する非定常信号の場合はどうでしょうか。
上の図からわかるように、FFTは大きな違いのある3つの信号の周波数スペクトルを分析できますが、各成分が現れる時間は不明です。
非定常信号の場合、周波数の構成を知るだけでなく、各信号の周波数の経時変化も知る必要があります。
2. 短時間フーリエ変換 （Short-time Fourier Transform, STFT）
上記の問題を解決するための簡単な方法は——ウィンドウを加える。
「時間領域プロセス全体を同じ長さの無数の小さなプロセスに分解します。各小さなプロセスはほぼ安定しています。フーリエ変換後、どの周波数がどの時点で現れるかを知ることができます。」これは短時間フーリエ変換です。
時間領域をセクションに分割してFFTを実行して、周波数成分が時間の経過とともにどのように変化するかわがるはずです。
このようにして、信号の時間-周波数図を取得できます。
グラフには、10 Hz、25 Hz、50 Hz、100 Hzの4つの周波数領域成分が表示され、発生時間も表示されます。
しかし、STFTにはまだ欠陥があります。
STFTの使用に問題がありますが、ウィンドウ関数の幅をどのくらい使用する必要がありますか？
幅が広すぎたり狭すぎたりするウィンドウには問題があります。
ウィンドウが狭すぎてウィンドウ内の信号が短すぎると、周波数分析が十分に正確でなくなり、周波数分解能が低下します。
狭いウィンドウは高い時間分解能と低い周波数分解能を持ち、広いウィンドウは低い時間分解能と高い周波数分解能を持ちます。 時間変化する非定常信号の場合、高周波数は小さなウィンドウに適しており、低周波数は大きなウィンドウに適しています。
ただし、STFTのウィンドウは固定されており、1つのSTFTで幅が変化しないため、STFTは非定常状態の信号変化の周波数要件を満たすことができません。
3.ウェーブレット変換
ウェーブレット変換をこのように理解している人もいるかもしれません：ウィンドウのサイズを調整し、STFTを複数回実行します。
実際、STFTは直交化できないため、ウェーブレット変換はこれを行いません。
したがって、ウェーブレット変換の原理は、信号にウィンドウを追加してセクションでFFTを実行するSTFTの原理とは異なります。
ウェーブレット変換は、フーリエ変換の基底を直接変更します。三角関数の基底の無限の長さは、減衰されたウェーブレットの基底の有限の長さに置き換えられます。 このようにして、周波数を取得できるだけでなく、時刻を特定することもできます。
ここでは、フーリエ変換を復習します。
元の信号：
基底関数：
この基底関数は伸びて平行移動します。（実際、本質は平行移動ではなく、2つの直交基底の分解です）狭くすることは高周波数に対応し、広くすることは低周波数に対応します。 次に、この基底関数は信号を乗算し続けます。 特定のスケール（幅と狭い）で乗算した結果は、現在のスケールが信号に含む周波数成分の数として理解できます。 したがって、この時点では2つの関係が重複しているため、基底関数に信号を掛けて、特定のスケールで非常に大きな値を取得します。 次に、信号にその周波数の成分がどれだけ含まれているかがわかります。
このステップが実際に信号と三角関数の間の相関を計算していることがわかります。
これらの2つのスケールは大きな値（高い相関）で乗算できるため、信号にはこれら2つの周波数成分がより多く含まれ、スペクトル上のこれら2つの周波数に2つのピークがあります。
一方、ウェーブレットによって行われた変更は、無限に長い三角関数ベースを有限に長い減衰ウェーブレットベースに置き換えることです。
式から、フーリエ変換とは異なり、変数は周波数ωのみであり、ウェーブレット変換には、スケールa（scale）と平行移動τ（translation）の2つの変数があることがわかります。 スケールaはウェーブレット関数の膨張と収縮を制御し、シフト量τはウェーブレット関数のシフトを制御します。 スケールは周波数（反比例）に対応し、シフト量τは時間に対応します。
拡張と変換がこのような一致に達すると、それらも乗算されて大きな値が得られます。 この時間とフーリエ変換の違いは、信号がそのような周波数成分を持っていることを知っているだけでなく、時間領域での特定の位置も知っていることです。
また、各スケールで信号を変換して乗算すると、信号に各位置に含まれる周波数成分がわかります。
ウェーブレット変換の結果：
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フーリエ変換、短時間フーリエ変換、およびウェーブレット変換の上記の説明は、参照を提供するのに役立つだけです。 不正確な表現があるかもしれませんので、本と実際の状況を組み合わせて理解を深める必要があります。
References
https://panjiacheng.site/blog-others/2018/06/19/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%88%86%E6%9E%90/
https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818
https://noumenon-th.net/programming/2017/04/27/wave1/
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